Физический энциклопедический словарь - параметрический резонанс

электрич. энергия Wэ=q²/2C и магн.

энергия Wм=LI²/2 (q — заряд на обкладках конденсатора, I — ток в катушке индуктивности). Собств. колебания в контуре без потерь с постоянными С и L происходят с частотой 0=1/LC. При этом полная энергия W=Wэ+Wм, запасённая в контуре, остаётся неизменной, происходит лишь её периодич. трансформация из электрич. в магнитную и обратно с частотой 20. Изменение параметров С и L, сопровождающееся затратой работы внеш. сил (накачка), приводит к изменению полной энергии системы. Если ёмкость С изменить скачком (за время, малое по сравнению с периодом собств. колебаний Т0=2/0) (рис. 1, а), то заряд q скачком

Рис. 1. Связь между изменениями ёмкости С конденсатора (а), заряда q на его обкладках (б) и напряжения U (в) при параметрич. резонансе в колебат. контуре.

измениться не может (иначе ток I=aq/dt, рис. 1, б). В результате напряжение на ёмкости U=q/C и электрич. энергия Wэ=q²/2C изменяются обратно пропорц. С, причём совершаемая при этом работа пропорц. q². Если изменять ёмкость С периодически в такт с изменениями Wэ (обусловленными собств. колебаниями), уменьшая её в моменты, когда │q│ и Wэ максимальны, и увеличивая, когда эти величины равны нулю (рис. 1), то в среднем за период над системой совершается

работа и, следовательно, полная энергия и амплитуда колебаний будут монотонно нарастать.

Раскачка колебаний возможна при изменении С или L по любому периодич. закону с периодом Тн или частотой н, определяемыми соотношениями:

где n — целое число. Наиболее эфф. раскачка имеет место при n=1, когда частота накачки н равна частоте колебаний Wэ и Wм в системе 0. Нарастание колебаний возможно не только при точном выполнении соотношения (1), но и в нек-рых конечных интервалах значений н вблизи 0 (в зонах неустойчивости), ширина зон тем больше, чем сильнее изменяются параметры С и L. Изменение параметра, напр. ёмкости С, характеризуют величиной m=(Cмакс-Cмин)/(Cмакс+Cмин)

наз. глубиной изменения параметра (рис. 2).

П. р. приводит к нарастанию малых нач. возмущений, напр. неизбежных

Рис. 2. Области значений m, в к-рых возможен параметрич. резонанс; 0 — частота собств. колебаний, н — частота накачки (изменения параметра).

во всякой системе флуктуации, среди к-рых всегда найдётся составляющая с подходящей фазой по отношению к фазе изменения параметров, т. е. к самовозбуждению колебаний. В отсутствии потерь энергии самовозбуждение наступает при сколь угодно малом изменении параметров. Если же в системе имеются потери (напр., в контуре присутствует сопротивление Л), то самовозбуждение происходит только при достаточно больших изменениях С или L, когда параметрич. накачка энергии превосходит потери. Зоны неустойчивости при этом соответственно уменьшаются или даже исчезают совсем (при больших потерях). Нарастание колебаний при П. р. не происходит беспредельно, а ограничивается при достаточно больших амплитудах разл. нелинейными эффектами. Напр.: зависимость сопротивления Л от тока в контуре может приводить к увеличению потерь по мере возрастания амплитуды колебаний, а зависимость ёмкости от напряжения на ней — к изменению периода собств. колебаний Т0 и в результате — к увеличению расстройки между значениями н и 0/2n. Равновесие наступает тогда, когда параметрич. накачка энергии в среднем за период компенсируется джоулевыми потерями (см. Параметрическая генерация и усиление электромагнитных колебаний).

520

Пример механич. системы, в к-рой возможен П. р.,— маятник в виде груза массы т, подвешенного на нити, длину l к-рой можно изменять (рис. 3). Маятник с неподвижной точкой подвеса совершает собств. колебания с частотой 0=g/l, причём сила натяжения нити (равная по величине сумме центробежной силы и составляющей силы тяжести, направленной

Рис. 3. а — устройство маятника с переменной длиной l подвеса; б — схема движения тела маятника за один период.

вдоль нити) максимальна в нижнем положении груза и минимальна в крайних. Поэтому если уменьшать l в нижнем и увеличивать в крайних положениях [при этом снова выполняется соотношение (1)], то работа внеш. силы, совершаемая в среднем за период, оказывается положительной и колебания могут раскачиваться. На П. р. основано самораскачивание на качелях, когда эфф. длина маятника периодически изменяется при приседаниях и вставаниях качающегося. П. р. учитывается в небесной механике при расчёте возмущений планетных орбит, вызванных влиянием др. планет.

В колебат. системах с неск. степенями свободы (напр., в системе из двух связанных контуров, маятников и др.) возможны нормальные колебания (моды) с разл. частотами 1, 2. Поэтому колебания энергии, запасённой в к.-л. реактивном элементе, содержат не только составляющие с частотами 21, 22, но и с частотами, равными суммам и разностям разл. нормальных частот. Соответственно нарастание колебаний здесь возможно как при выполнении условия (1) для любой из норм. частот, так и, напр., при изменении параметра с суммарной частотой:

н =1+2. (2)

П. р. приводит к самовозбуждению обоих норм. колебаний с определ. соотношением фаз. Резонансная связь мод возможна также при н=1-2, однако при этом вместо самовозбуждения происходит лишь периодич. перекачка энергии между модами. Соотношение (2) выражает закон сохранения энергии при распаде кванта «накачки» с энергией ћ на два кванта: ћ1 и ћ2. Отсюда следует также, что мощность Рн, поступающая в колебат. систему на частоте н, и мощности P1,P2 потребляемые на частотах 1 и 2, пропорц. соответствующим частотам (частный случай т. н. соотношений Мэнли — Роу):

Pн/н=P1/1=P2/2 (3)

В колебат. системах с распределёнными параметрами, обладающих бесконечным числом степеней свободы, также возможно возбуждение норм. колебаний в результате П. р. Классич. пример — опыт Мельде (1859), в к-ром наблюдалось возбуждение поперечных колебаний (стоячих волн) в струне, прикреплённой одним концом к ножке камертона,

колебания к-рого периодически меняют натяжение струны (рис. 4) с частотой, вдвое большей частоты собств. поперечных колебаний. П. р. может приводить к раскачке изгибных колебаний вращающихся валов. Др. пример — опыт Фарадея (1831), в к-ром вертикальные колебания сосуда с водой приводят к возбуждению стоячей поверхностной волны с удвоенным периодом.

Рис. 4. Параметрич. возбуждение колебаний струны.

Существенная особенность П. р. в системах с распределёнными параметрами состоит в том, что его эффективность зависит от соотношения между законом изменения параметров системы в пр-ве и пространств. структурой колебаний (волн). Напр., если накачка, изменяющая параметры среды, представляет собой бегущую волну с частотой н и волновым вектором kн, то возбуждение пары норм. волн с частотами 1, 2 и волн. векторами k1, k2 осуществляется, если выполняются условия П. р. как во времени, так и в пр-ве:

н=1+1; kн=k1+k2. (4)

На квант. языке эти условия, обобщающие (2), означают, что при распаде кванта накачки сохраняются как энергия, так и импульс (ћk). Нарастание амплитуд волн во времени и пр-ве (распадная неустойчивость) также ограничивается нелинейными эффектами: если значит. часть энергии накачки израсходована на возбуждение этих волн, то возможен обратный процесс — рост энергии накачки за счёт ослабления волн на частотах 1, 2; в среде без потерь такой обмен энергией происходит периодически. Параметрические и нелинейные резонансные вз-ствия волн характерны, напр., для разл. типов волн в плазме, мощных световых волн (см. Параметрический генератор света), волн в электронных пучках и др. волн. процессов.

• Мандельштам Л. И., Лекции по теории колебаний, М., 1972; Х а я с и Т., Нелинейные колебания в физических системах, пер. с англ., М., 1968; Каудерер Г., Нелинейная механика, пер. с нем., М., 1961, ч. 2, гл. 3; С и л и н В. П., Параметрический резонанс в плазме, М., 1965.

Л. А. Островский, Н. С. Степанов.